动态规划(动态规划的基本思想)
动态规划
动态规划的基本思想
动态规划是一种解决最优化的算法，它通过将一个问题分解成一系列较小的子问题，并求解这些子问题，然后将子问题的解组合起来得到原问题的解。
动态规划的基本思想包括以下几个步骤：
- 将问题分解成子问题：将原问题分解成一系列相互独立的子问题，这些子问题可以简单地求解。
- 为每个子问题创建状态：为每个子问题定义一个状态，该状态描述子问题的当前状态。
- 定义相邻子问题的关联：确定相邻子问题之间的关系，以及如何将一个子问题的解用于求解另一个子问题。
- 按顺序求解子问题：从最简单的子问题开始求解，并使用前一个子问题的解来求解后续子问题。
- 组合子问题的解：一旦所有子问题都求解完毕，将子问题的解组合起来得到原问题的解。
动态规划的一个关键思想是无后效性。这意味着一个子问题的解不会受到后续子问题的解的影响。这使得动态规划算法能够按顺序解决子问题，而不需要考虑后续子问题的解。
动态规划常用于解决各种优化问题，例如最短路径问题、背包问题和最大子序列问题。
动态规划的优缺点
优点：
缺点：
- 空间复杂度可能很高，尤其是在子问题数目很多的情况下。
- 不适用于所有优化问题，特别是那些存在重叠子问题的优化问题。
动态规划的示例
例子 1：斐波那契数列
斐波那契数列是一个其中每个数都是前两个数之和的数列。前几个斐波那契数是：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
我们可以使用动态规划来有效地计算斐波那契数。我们定义一个状态
f(n)
来表示第
n
个斐波那契数。我们可以递归地定义
f(n)
：
f(n) = - 0, 如果 n = 0- 1, 如果 n = 1- f(n-1) + f(n-2), 如果 n >= 2
我们从最简单的子问题
f(0)
和
f(1)
开始求解，然后按顺序求解后续的子问题。一旦我们求解了所有子问题，我们就可以使用
f(n)
得到第
n
个斐波那契数。
例子 2：最长公共子序列
最长公共子序列问题是给从最简单的子问题
dp(0, 0)
开始求解，然后按顺序求解后续的子问题。一旦我们求解了所有子问题，我们就可以使用
dp(n, m)
得到字符串
X
和
Y
的最长公共子序列的长度，其中
n
和
m
分别表示字符串
X
和
Y
的长度。
总结
动态规划是一种用于解决优化问题的强大算法。它基于无后效性的思想，将问题分解成较小的子问题，然后按顺序求解这些子问题。动态规划常用于解决各种优化问题，例如最短路径问题、背包问题和最大子序列问题。
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